კამათი სიმის შესახებ

ფორტეპიანოს სიმების რხევა აღიწერება დიფერენციალური ტოლობებით

კამათი სიმის შესახებ (ასევე კამათი მერხევი სიმის შესახებ, კამათი ჟღერადი სიმის შესახებ) — სამეცნიერო დისკუსია, რომელიც წარიმართა მეთვრამეტე საუკუნეში მათემატიკოსებს შორის და ეხებოდა მერხევი სიმის შესწავლის საკითხს. დისკუსია განიხილავდა ფუნქციის მცნების განმარტებას და მან გადამწყვეტი როლი ითამაშა მათემატიკის მთელი რიგი განყოფილებების ჩამოყალიბების საქმეში. ასეთებია : კერძოდ წარმოებულ დიფერენციალურ განტოლებათა თეორია, მათემატიკური ანალიზი, ნამდვილი ცვლადის ფუნქციათა თეორია ფუძის ტრიგონომეტრიულ მწკრივთა თეორია, განზოგადებულ ფუნქციათა თეორია და სობოლოვის სტვრცეთა თეორია.

კამათის წინამძღვრები

მარინ მერსენი, ფრანგი ფილოსოდოსი, მათეატიკოსი და მუსიკის თეორეტიკოსი.

მექანიკური თვალსაზრისით რხევათა თეორიული შესწავლის შესაძლებლობა შეიქმნა ნიუტონის კანონების აღმოჩენის (1987 წელი) და უსასრულოდ მცირეთა ინტეგრალური და დიფერენციალური აღრიცხვის ანალიზის დამუშავების ჩამოყალიბების შემდეგ. მაგრამ ექსპერიმენტალური კვლევები მიმდინარეობდა ამ მომენტამდე და მას აწარმოებდნენ გალილეო გალილეი, მერსენი, დეკარტი, ჰიუგენსი და სხვ. 1625 წელს მერსენმა მონახა დამოკიდებულება $\nu$ სიხშირეს $T$ დაჭიმულობას, $A$ განიკვეთის ფართს და $l$ სიმის სიგრძეს შორის, რაც გამოიხატება პროპორციულობით:

$\nu \propto {\frac {1}{l}}{\sqrt {\frac {T}{A}}}$

მარსენის დასკვნა გამოყვანილი იქნა მათემატიკურ მოსაზრებებზე დაყრდნობით ტეილორის მიერ თითქმის 100 წლის შემდეგ 1713 წელს. მის ნაშრომში ხდება გამოკვლევა სიმისა, რომელიც გადახრილია საწყისი მდგომარეობიდან ფუნქციით $y=y(x)$.

ტეილორს მიაჩნდა, რომ დროის ნებისმიერ ფიქსირებულ მომენტში სიმს უნდა ჰქონდეს სინუსოიდის ფორმა. $y=a\sin(k\pi x/l)$ (რაც სინამვილეში წარმოადგენს მერხევი სიმის უმარტივეს ფორმას, რომლის ამპლიტუდა დამოკიდებულია დროზე და იმაზე, რომ ნებისმიერი საწყისი პირობის შემთხვევაში სიმი ისწრაფის ძირითად მდგომარეობაში გადასვლას. (რაც, როგორც გამოირკვა, არ შეესაბამება სინამდვილეს) ამ მიდგომას, რომელსაც ზოგჯერ უწოდებენ მდგარი ტალღების მეთოდს, ამუშავებდა დანიილ ბერნუოლი, მაგრამ მკაცრი დასაბუთება მოხდა მხოლოდ ფურიეს ნაშრომებში.

ტეილორმა ასევე დაასკვნა, რომ დაჭიმულობის ძალა, რომელიც მოქმედებს სიმისუსასრულოდ მცირე ელემენტზე და რომელიც მიმართულია მისი გადახრის მიმართულებით პროპორციულია მეორე წარმოებულისა: $d^{2}y/dx^{2}$. შემდგომში დალამბერმა განიხილა შემთხვევა, როდესაც გადახრა დამოკიდებული იყო არა მხოლოდ $x$ კოორდინატაზე, არამედ $t$ დროზეც. ამან დაბადა საშუალება ნიუტონის მეორე კანონის მკაცრად გამოყენებისა, რამაც თავის მხრივ დასვა წარმოებულის ბუნების ხელახლა გააზრების აუცილებლობის საკითხი, რომელსაც განიხილავდა ტეილორი. იგი გახდა კერძო წარმოებული $\partial ^{2}y/\partial x^{2}$ . ელემნტის აჩქარება აღიწერებოდა მეორე კერძო წარმოებულით $\partial ^{2}y/\partial t^{2}$.

1947 წელს დალამბერმა შეცვალა ტეილორის მიერ ნაპოვნი კანონის ფორმულირება, რომელიც მოცემული იყო კერძო წარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებათა ტერმინებში და ჩაწერა სიმის რხევის განტოლება თანამედროვე სახით (დროის მასშტაბის შეცვლა გვაძლევს საშუალებას ვიგულისხმოთ, რომ $a=1$ რასაც შემდგომში გავაკეთებთ კიდევაც.)

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.$

ამ განტოლების გამოკვლევამ მიგვიყვანა მორბენალი ტოლობების მეთოდამდე, რომელიც წარმოადგენს განსხვავებულ შეხედულებას რხევით მოძრაობაზე (მოგვიანებით ეს განავითარა ეილერმა). ამის შემდეგ ამ განტოლება, დაიმკვიდრა ადგილი მათემატიკის სახელმძღვანელოებში, რხევათა თეორიაში და აგრეთვე სხვა მათემატიკურ დისციპლინებში და ფაქტობრივად გახდა კლასიკრი.