დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
დეკარტეს კოორდინატების ილუსტრაცია სიბრტყეზე. ნაჩვენებია 4 წერტილი და მათი კოორდინატები: (2, 3) მწვანედ, (−3, 1) წითლად, (−1.5, −2.5) ლურჯად და კოორდინატთა სათავე (0, 0) შინდისფრად.

დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა განსაზღვრავს ნებისმიერი წერტილის მდებარეობას სიბრტყეზე ორი რიცხვის, კოორდინატების მეშვეობით, რომლებიც არიან დადებითი ან უარყოფითი რიცხვები, რომლებიც განსაზღვრავენ მანძილს ამ წერტილიდან ორ ფიქსირებულ ურთიერთმართობულ წრფეებამდე (კოორდინატთა ღერძებამდე).

კოორდინატთა ღერძებს ხშირაბ უბრალოდ ღერძებს უწოდებენ, ხოლო მათი გადაკვეთის წერტილს კი კოორდინატთა სათავეს.

ეს პრინციპი მარტივად შეიძლება განზოგადდეს სამგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში. სამგანზომილებიან სივრცეში გვექნება სამი ურთიერთმართობული კოორდინატთა ღერძი, და რაიმე წერტილის მდებარეობა სივრცეში განისაზღვრება როგორც მანძილი ამ წერტილიდან კოორდინატთა ღერძების წყვილებზე გავლებულ სიბრტყეებამდე. ანალოგიურად, n განზომილებიან სირცეში წერტილის მდებარეობა შეიძლება დახასიათდეს n დეკარტეს კოორდინატით.

დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა და მასზე მოცემული 2ის ტოლი რადიუსის წრეწირი (წითლად), რომლის ცენტრი კოორდინატთა სათავეშია. წრეწირის განტოლებას აქვს (x - a)2 + (y - b)2 = r2 სადაც a და b არის წრეწირის ცენტრის კოორდინატები (a, b), ხოლო r არის მისი რადიუსი.

დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა შემოღებული იქნა რენე დეკატის მიერ 17 საუკუნეში. ეს მოვლენა რევოლუციური იყო მათემატიკის ისტორიაში, რადგან პირველად გახდა შესაძლებელი ევკლიდეს გეემეტრიისა და ალგებრის სისტემური დაკავშირება. დეკარტეს კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურის ფორმა შეიძლება ჩაწერილი იქნას დეკარტეს განტოლებსის მეშვეობით, რომელიც წარმოადგენს ალგებრულ განტოლებას და აკავშირებს გეომეტრიული ფიგურის კოორდინატებს. მაგალითად, 2-ის ტოლი რადიუსის წრეწირი შეიძლება მოცემული იქნას როგორც ყველა იმ წერტილის ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები x და y აკმაყოფილებენ განტოლებასx2 + y2 = 4.

დეკარტეს კოორდინატები წარმოადგენენ ანალიზური გეომეტრიის საფუძველს, და ინტენსიურად გამოიყენება მათემატიკის ბევრ სხვა დარგში, როგორიცაა წრფივი ალგებრა, კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორია, დიფერენციალური გეომეტრია, ჯგუფთა თეორია და ა.შ. ისინი აგრეთვე ინტენსიურად გამოიყენება ასტრონომიაში, ფიზიკაში და სხვა მეცნიერებებში.

განმარტებები[რედაქტირება]

რიცხვითი ღერძი[რედაქტირება]

Searchtool-80%.png მთავარი სტატია : რიცხვითი ღერძი.

ერთგანზომილებინი სივრცეში, ანუ წრფეზე დეკარტეს კოორდინატთა სისტემის განსაზღვრა გულისხმობს რაიმე O-წერტილის არჩევას (კოორდინატთა სათავე), სიგრძის ერთეულის არჩევას და ამ წრფეზე მიმართულების (ორიენტაციის) არჩევას. ეს უკანასკნელი გულისხმობს, რომ O-წერტილიდან გამომავალ ერთ ერთ სხივი (ნახევარწრფე) განისაზღვრება როგორც დადებითი, ხოლო მერე როგორც უარყოფითი. ამის შემდეგ იტყვიან, რომ ღერძის მიმართულება არის მიმართულება უარყოფითი ნახევრიდან დადებითი ნახევრისკენ. ასეთი არჩევის შემდეგ წრფეზე განლაგებული ყველა წერტილის შეიძლება დახასიათდეს O-სათავიდან ამ წერტილამდე მანძილით, რომელსაც მიენიჭება დადებითი ან უარყოფითი ნიშანი იმის მიხედვით თუ რომელ ნახევარწრფეზე არის განლაგებული წერტილი.

წრფეს მასზე განსაზღვრული დეკარტეს კოორდინატთა სისტემით რიცხვითი ღერძი ეწოდება. ნებისმიერ რიცხვს იქნება ის ნატურალური, რაციონალური თუ ირაციონალური ასეთ წრფეზე ერთადერთი მდებარეობა შეესაბამება. და საპირისპიროდ, ნებისმიერი წერტილი წრფეზე შეიძლება დახასიათდეს ერთი რიცხვით.

დეკარტეს კოორდინატები სიბრტყეზე[რედაქტირება]

დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა ორ განზომილებაში (სიბრტყეზე) შედგება ორი პერპენდიკულარული წრფისგან (კოორდინატთა ღერძებისგან), ორივე ღერძისთვის განსაზღვრული ერთიდაიგივე სიგრძის ერთეულისგან და თითოეული ღერძისთვის განსაზღვრული მიმართულებისგან. ამ ღერძებს ხშირად x და y-ღერძებს უწოდებენ, სადაც x-ღერძი როგორც წესი არის ჰორიზონტალური, ხოლო y-ღერძი ვერტიკალური. ღერძების გადაკვეთის წერტილი წარმოადგენს ათვლის წერტილს ორივე ღერძისთვის და შესაბამისად ორივე ღერძი წარმოადგენს ცალკე რიცხვით ღერძს.

ნებისმიერი P წერტილის კოორდინატები შემდეგნაირად განისაზღვრება. P წერტილიდან ავლებენ ორ ღერძს, პირველს, რომელიც x-ღერძის პერპენდიკულარულია და კვეთავს მას რაიმე X წერტილში, და მეორეს, რომელიც y-ღერძის პერპენდიკულარულია და კვეთავს მას Y წერტილში. P წერტილის x და y კოორდინატები სიბრტყეზე არის შესაბამისად X და Y.

დეკარტეს კოორდინატები სამგანზომილებიან სივრცეში[რედაქტირება]

სამგანზომილებიანი დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა, O კოორდინატთა სათავითა და X, Y, Z ღერძებით რომელთა ორიენტაცია ისრებით არის ნაჩვენები. დანაყოფები ღერძებზე შეესაბამება სიგრძის ერთეულებს. შავი წერტილი აღნიშნავს წერტილს კოორდინატებით X = 2, Y = 3, და Z = 4, ანუ (2,3,4).

სიბრტყის ანალოგიურად ხდება დეკარტეს კოორდინატების განსაზღვრა სამგანზომილენიან (N-განზომილებიან) სივრცეში, იმ განსხვავებით, რომ ამ შემთხვევაში არჩეული უნდა იქნას სამი (N) ურთერთმართობული წრფე და წერტილის მდებარეობა ამ სივრცეში შესაბამისად ხასიათდება სამი (N) კოორდინატით.

დეკარტეს ფორმულები სიბრტყისთვის[რედაქტირება]

მანძილი ორ წერტილს შორის[რედაქტირება]

ევკლიდური მანძილი ორ წერტილს შორის, რომელთა დეკარტეს კოორდინატებია (x_1,y_1) და (x_2,y_2) არის

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.

ეს განტოლება წარმოადგენს პითაგორას თეორემის დეკარტული სივრცის ვერსიას. სამგანზომილებიან სივრცეში მანძილი ორ წერტილს შორის, რომლთა კოორდინატებია (x_1,y_1,z_1) და (x_2,y_2,z_2) არის

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2}

ეს ტოლობა შეიძლება მიღებული იქნას პითაგორას თეორემის ორჯერადი გამოყენებით.

ევკლიდური გარდაქმნები[რედაქტირება]

წანაცვლება[რედაქტირება]

წერტილების რაიმე ერთობლიობის წანაცვლება სიბრტყეზე მათ შორის მანძილების შეუცვლელად ექვივალენტურია ყველა ამ წერტილის დეკარტეს კოორდინატებისთვის რიცხვების ფიქსირებული წყვილის (X,Y) მიმატებისა. ანუ, თუ წანაცვლებამდე რაიმე წერტილის კოორდინატები იყო (x,y), წანაცვლების შემდეგ გვექნება

(x',y') = (x + X, y + Y).\,

მასშტაბური ინვარიანტობა[რედაქტირება]

რაიმე წერტილების ერთობლიობისგან შედგენილი ფიგურის ზომის გაზრდა ან შემცირება ექნივალენტურია ამ ფიგურის ყველა წერტილის დეკარტეს კოორდინატების ერთიდაიმავე დადებით m რიცხვზე გამრავლებისა. თუ (x,y) არის საწტისი ფიგურის რაიმე წერტილის კოორდინატები, მაშინ მაშტაბშეცვლილი ფიგურის შესაბამისი წერტილის კოორდინატი იქნება

(x',y') = (m x, m y).\,

თუ m 1-ზე მეტია, მაშინ ფიგურის ზომა იზრდება, ხოლო თუ m-ის მნიშვნელობა 0-სა და 1-ს შორიასაა, მაშინ მცირდება.

ბრუნვა[რედაქტირება]

კოორდინატთა სათავის მიმართ რაიმე ფიგურის საათის ისრის მიმართულებით რაიმე \theta კუთხით მობრუნება ექვივალენტურია საწყისი ფიგურის ყველა წერტილის (x,y) დეკარტეს კოორდინატების ახალი კოორდინატებით (x',y') შეცვლით, სადაც

x'=x \cos \theta - y \sin \theta\,
y'=x \sin \theta + y \cos \theta.\,

ანუ, ექვივალენტურად (x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,) , (x \sin \theta + y \cos \theta\,)).

არეკვლა[რედაქტირება]

თუ (x, y) სიბრტყეზე რაიმე წერეტილის დეკარტეს კოორდინატებია, მაშინ (−x, y) არის მეორე (Y) ღერძის მიმართ მისი არეკვლის შედეგად მიღებული წერტილის კოორდინატები, ხოლო (x, −y) არის X-ღერძის მიმართ არეკვლის შედეგად მიღებული წერტილის კოორდინატები.

ზოგადი გარდაქმნები[რედაქტირება]

სიბრტყეზე ევკლიდური გარდაქმნებია წანაცვლება, მაშტაბის შეცვლა, ბრუნვა არეკვლა და მათი რამე კომბინაცია. რაიმე (x,y) წერტილის ნებისმიერი ევკლიდური გარდაქმნის შედეგი (x', y') მოიცემა შემდეგი ფორმულით

(x',y') = (x,y) A + b\,

სადაც A არის 2×2 მატრიცა ხოლო b არის რაიმე რიცხვების წყვილი, რომელიც დამოკიდებულია განხორციელებულ გარდაქმნაზე. გაშლილი ფორმით ეს განტოლება შემდეგნაირად ჩაიწერება

x' = x A_{1 1} + y A_{2 1} + b_{1}\,
y' = x A_{1 2} + y A_{2 2} + b_{2}.\,

A მატრიცას უნდა ჰქონდეს ორთოგონალური მწკრივები ერთიდაიგივე ევკლიდური სიგრძით, ანუ უნდა სრულდებოდეს პირობები

A_{1 1} A_{2 1} + A_{1 2} A_{2 2} = 0\,

და

A_{1 1}^2 + A_{1 2}^2 = A_{2 1}^2 + A_{2 2}^2.

ამ ორი განტოლების დაკმაყოფილება ექვივალენტურია პირობისა, რომ A მატრიცის ნამრავლი მის ტრანსპონირებულ მატრიცაზე არის დიაგონალური მატრიცა. თუ A მატრიცა ამ პირობებს არ აკმაყოფილებს, მაშინ საქმე გვაქვს უფრო ზოგად, აფინურ გარდაქმნებთან.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულა შეესაბამება წანაცვლებას მხოლოდ მაშინ, როდესაც A არის ერთეულოვანი მარტიცა.

ვექტორის წარმოდგენა სტანდარტულ ბაზისში[რედაქტირება]

რაიმე წერტილი დეკარტეს კორდინატთა სისტემაში შეიძლება წარმოდგენილი იქნას აგრეთვე როგორც ვექტორი, რომლის ერთი ბოლო მდებარეობს კოორდინატთა სათავაში, მეორე ბოლო განსახილველ წერტილში და მიმართულია სათავიდან წერტილისკენ. ასეთი ვექტორი რომელსაც ხშირად რადიუს-ვექოტს უწოდებენ ხშირად აღნიშნავენ როგორც \mathbf{r}. სამგანზომილებიან სივრცეში კოორდინატთა სათავიდან რაიმე (x,y,z) დეკარტეს კოორდინატების მქონე წერტილში მიმართული ვექტორი ჩაიწერება როგორც:[1]

 \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}

სადაც \mathbf{i}, \mathbf{j}, და \mathbf{k} არიან ერთეულოვანი ვექტორები შესაბამისად x, y, და z ღერძების გასწვრივ.

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება]

სქოლიო[რედაქტირება]

  1. David J. Griffith (1999). Introduction to Electromagnetics. Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.