ბოლცანო-კოშის თეორემა

მასალა ვიკიპედიიდან — თავისუფალი ენციკლოპედია
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

მათემათიკურ ანალიზსა და ტოპოლოგიაში ბოლცანო-კოშის თეორემა არის თეორემა უწყვეტი ფუნქციის შუალედური მნიშვნლებობების შესახებ. ის ამბობს, რომ თუ უწყვეტი ფუნქცია იღებს რაღაც ორ მნიშვნელობას, მაშინ ის ასევე იღებს მათ შორის ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობას.

ფორმულირება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

დავუშვათ მოცემულია უწყვეტი ფუნქცია შუალედზე . ასევე დავუშვათ, რომ , და ზოგადობის შეუზღუდავად ვივარაუდოთ, რომ . მაშინ ნებისმიერი არსებობს ისეთი , რომ .

დამტკიცება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

განვიხილოთ ფუნქცია . ის უწყვეტია სეგმენტზე და , . ვაჩვენოთ, რომ არსებობს ისეთ წერტილი, რომ. გავყოთ სეგმენტი წერტილით ორ ტოლი სიგრძის ნაწილად, მაშინ ან და საჭირო წერტილი მიღებულია, ანდა და მაშინ მიღებული შუალედებისგან ერთ-ერთის ბოლოებში ფუნქცია იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშნელობებს (მარცხენა ბოლოში ნულზე ნაკლები, მარჯვენაში - მეტი).

აღვნიშნოთ მიღებული სეგმენტი , ისევ გავყოთ ის ორ ტოლ ნაწილად და ა.შ. მაშინ ბიჯთა სასრული ოდენობის მერე ჩვენ მივალთ საძებნ წერტილამდე , ან მივიღებთ ერთმანეთში ჩალაგებულ სეგმენტთა სიმრავლეს , რომლების სიგრძე მიისწრაფის ნულისკენ და .

დავუშვათ - ყველა სეგმენტის საერთო წერტილია , მაშინ და ფუნქციის უწყვეტობის გამო

რადგან , მივიღებთ, რომ

თეორემიდან გამომდინარე[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

  • (თეორემა უწყვეტი ფუნქციის ნულის შესახებ.) თუ ფუნქცია შუალედის ბოლოებში იღებს საწინააღმდეგო ნიშნის მნიშვნელობებს, მაშინ არსებობს წერტილი, სადაც მისი მნიშვნელობა ხდება ნულის ტოლი. უფრო ზუსტად, დავუშვათ და . მაშინ ისეთი, რომ .
  • კერძოდ, ნებისმიერი კენტი რიგის მრავალწევრს გააჩნია სულ მცირე ერთი ნული;

შენიშვნა[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

  • ზოგჯერ (სახელმძღვანელოებში) მოსაზრებას ნულის შესახებ უწოდებენ ბოლცანო-კოშის პირველ თეორემას, ხოლო ზოგადს - მეორე თეორემას, შესაბამისად. სინამდვილეში კი, ისინი ერთი და იგივეა.

განზოგადება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ბოლცანო-კოშის თეორემა უშვებს განზოგადებას უფრო ზოგად ტოპოლოგიურ სივრცეებზე. ყოველი უწყვეტი ფუნქცია , განსაზღვრული წრფივად ბმულ ტოპოლოგიურ სივრცეზე, რომელიც იღებს რაღაც ორ მნიშვნელობას, ასევე იღებს ნებისმიერ მათ შორის მდებარე მნიშვნელობას. უფრო ზუსტად, დავუშვათ მოცემულია ბმული ტოპოლოგიური სივრცე და ფუნქცია. დავუშვათ და მაშინ: კერძოდ, უწყვეტი წრფივად ბმული სიმრავლის განსახიერება წრფივად ბმულია.

ისტორია[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

ბოლცანო-კოშის თეორემა ჩამოაყალიბეს ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად ბოლცანოს 1817 წელს და კოშის მიერ 1821 წელს.