ბეტა ფუნქცია

ბეტა ფუნქციის იზოხაზი

ბეტა ფუნქცია — სპეციალური ფუნქცია, რომელიც რაიმე $x$ და $y$ (ნამდვილი/კომპლექსური) ცვლადებისთვის შემდეგნაირად განისაზღვრება:

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

იმ პირობით, რომ $\operatorname {Re} (x)>0,\operatorname {Re} (y)>0$ (ანუ ცვლადების ნამდვილი ნაწილი დადებითია).

თვისებები

ბეტა ფუნქცია ხასიათდება სიმეტრიულობით:

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\mathrm {\mathrm {B} } (y,x)$.

ბეტა ფუნქცია შესაძლებელია გამოსახულ იქნას გამა ფუნქციის მეშვეობით:

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

ბეტა ფუნქციის მეშვეობით შესაძლებელია ჩაიწეროს ჯუფთება $n$-დან $k$-ად:

${\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$

არასრული ბეტა ფუნქცია

"ჩვეულებრივი" ბეტა ფუნქციისგან არასრული ბეტა ფუნქცია განსხვავდება მხოლოდ ინტეგრალის ზედა ზღვრით, რომელიც წარმოადგენს ცვლადს:

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.$

ლიტერატურა

• Press, W. H.; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8