ბანახის-ტარსკის პარადოქსი

ბანახის-ტარსკის პარადოქსი — თეორიული გეომეტრიის ერთ-ერთი თეორემა, რომელიც მოიცავს შემდეგ არსს: როდესაც წრეს ენიჭება სამგანზომილებიანი სივრცე, შესაძლებელია იგი დაშლილ იქნას სასრული რაოდენობის არაგადამკვეთ სიმრავლეებად, რომელსაც შემდეგ შეუძლია წარმოქმნას ორიგინალის იდენტური ორი ასლი. სინამდვილეში, ეს პროცესი მხოლოდ მოიცავს ნაწილების გადაადგილებას და ბრუნვას, ფორმის ცვლილების გარეშე. თუმცაღა, მიღებული ბურთები არათუ მყარ ობიექტს, არამედ გაბნეულ ნაწილაკებს წარმოადგენენ. რეკონსტრუქცია შეიძლება მოიცავდეს მხოლოდ ხუთ ნაწილს.

თეორემის ძლიერი ვერსია გულისხმობს იმას, რომ მოცემული ორი „გონივრული“ მყარი ობიექტიდან შესაძლებელია (მაგ.: დიდი და პატარა ბურთები) ერთ-ერთმა გამოსახოს მეორე. ამ თეორემას ხშირად ადარებენ „დაჭრილ ბარდას, რომელსაც შეუძლია იქცეს მზედ“ და უწოდებენ „ბარდისა და მზის პარადოქსს“.

მიზეზი იმისა, თუ რატომ ეწოდება ბანახის-ტარსკის თეორემას პარადოქსი, არის ის, რომ იგი ეწინააღმდეგება ძირითად გეომეტრიულ ინტუიციას. „ბურთის გაორმაგება“ — მათი დაყოფა ნაწილებად და გადაადგილება, ყველანაირი დაჭიმვის, ან წერტილების დამატების გარეშე, როგორც ჩანს შეუძლებელია, რადგანაც შენარჩუნებულ უნდა იქნას მოცულობა. თეორიულად ეს შესაძლებელია და იგულისხმება მოცულობის ფორმალურ განმარტებებშიც. თუმცაღა, პრაქტიკულად არ შეიძლება განისაზღვროს განხილული მოცულობები, რადგანაც ისინი ხელახალი შეერთების შემდეგ აუცილებლად შეიცვლება.

გეომეტრიის სხვა თეორემებისგან განსხვავებით, ამ შედეგის მტკიცებულება დამოკიდებულია აქსიომების არჩევანზე მოცემული თეორიისათვის. ის შეიძლება დამტკიცებულ იქნას არჩევნის აქსიომით, რომელიც გულისხმობს უთვლად სიმრავლეებს, მაგ.: წერტილების სიმრავლე, რომელთაც არ გააჩნიათ მოცულობა პირდაპირი გაგებით, რომლის მნიშვნელობა მოითხოვს არჩევნის უთვლად რაოდენობას.^[1]

2005 წელს დამტკიცდა — დაშლის დროს, ნაწილები არჩეულ უნდა იქნას იმ კრიტერიუმით, რომ მათ შეძლონ უწყვეტი გადაადგილება, ერთმანეთთან შეხვედრის გარეშე.^[2]

ლიტერატურა[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]

Banach, Stefan; Tarski, Alfred (1924). Review at JFM. „Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. 6: 244–277.
Churkin, V. A. (2010). „A continuous version of the Hausdorff–Banach–Tarski paradox“. Algebra and Logic. 49 (1): 91–98. doi:10.1007/s10469-010-9080-y.
Stromberg, Karl (March 1979). „The Banach–Tarski paradox“. The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 86 (3): 151–161. doi:10.2307/2321514. JSTOR 2321514.
von Neumann, John (1929). „Zur allgemeinen Theorie des Masses“ (PDF). Fundamenta Mathematicae. 13: 73–116.