არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულების ვიზუალური დამტკიცება.

არითმეტიკული პროგრესია ან არითმეტიკული მიმდევრობა — რიცხვთა მიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრისა და მისი წინა წევრის სხვაობა მუდმივია. ამ მუდმივ რიცხვს არითმეტიკული მიმდევრობის სხვაობა ეწოდება. მაგალითად, მიმდევრობა 5, 7, 9, 11, 13, 15 . . . წარმოადგენს არითმეტიკულ პროგრესიას, რომლის სხვაობა 2-ის ტოლია.

თუ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრია $a_{1}$, ხოლო სხვაობაა $d$, მაშინ მიმდევრობის $n$-ური წევრი ($a_{n}$) გამოითვლება ფორმულით:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d.$

არითმეტიკული პროგრესიის სასრულ მონაკვეთს სასრული არითმეტიკული პროგრესია ან ზოგჯერ უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. სასრული არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს ეწოდება არითმეტიკული მწკრივი.

ისტორია

დაუდასტურებელი ვერსიის მიხედვით, დაწყებით სკოლაში სწავლისას კარლ ფრიდრიხ გაუსმა აღმოაჩინა ფორმულა ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$, როდესაც ცდილობდა შეეკრიბა მთელი რიცხვები 1-დან $n$-ის ჩათვლით, სადაც $n=100$. ამისთვის მან მიმდევრობის ბოლოებში არსებული რიცხვები შეკრიბა და მიიღო 101, რის შემდეგაც იგი გაამრავლა რიცხვთა წყვილების ოდენობაზე. მიუხედავად იმისა, არის თუ არა ეს ვერსია სწორი, ეს ფორმულა გაუსამდე ჯერ კიდევ ანტიკურ ხანაში იყო ცნობილი არქიმედესთვის, ჰიპსიკლისა და დიოფანტესთვის; ჩინეთში ჩანგ ქიუჯიანისთვის; ინდოეთში არიაბჰატასთვის, ბრაჰმაგუფთასა და ბჰასკარაჩარიასთვის; აგრეთვე შუა საუკუნეების ევროპაში ალკუინისთვის, დიკუილისთვის, ფიბონაჩისთვის, საკრობოსკოსა და ტოსაფისტების სახელით ცნობილი თალმუდის ანონომური მეტაფრასტებისთვის. ზოგი მიიჩნევს, რომ ფორმულა პირველად შეიქმნა პითაგორიანიზმის ეპოქაში ძვ. წ. მე-5 საუკუნეში.

ჯამი

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

რიცხვთა ჯამის 2 + 5 + 8 + 11 + 14 გამოთვლა. მიმდევრობის შებრუნებით და საკუთარ თავთან შეკრებით მიიღება ერთი და იმავე რიცხვით ჩაწერილი მიმდევრობა. ეს რიცხვი ტოლია პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამისა (2 + 14 = 16). ამრიგად, 16 × 5 = 80 გაორკეცებული ჯამია.

სასრული არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს არითმეტიკული მწკრივი ეწოდება. მაგალითად, განვიხილოთ ჯამი:

$2+5+8+11+14=40$

ამ ჯამის პოვნა შეიძლება შესაკრები მნიშვნელობების რაოდენობის, n-ის (აქ 5) გამრავლებით პროგრესიის პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამზე (აქ 2 + 14 = 16) და მიღებული შედეგის 2-ზე გაყოფით:

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

ზემოთ განხილულ შემთხვევაში, მიიღება განტოლება:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

ეს ფორმულა გამოიყენება რეალურ რიცხვთა ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიისთვის, რომელიც იწყება $a_{1}$-ით და მთავრდება $a_{n}$-ით. მაგალითად,

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

წარმოება

მთელი რიცხვების ჯამის 1+2+...+n ფორმულის ანიმაციური დამტკიცება.

ზემოთ მოცემული ფორმულის დამტკიცება დავიწყოთ არითმეტიკული მწკრივის ორი განსხვავებული ფორმულის გამოსახვით:

$S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}$

$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).$

წევრები გადავწეროთ საპირისპირო კანონზომიერებით:

$S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.$

განტოლებების ორივე მხარის შესაბამისი წევრები შევკრიბოთ და გავანახევროთ:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].$

ეს ფორმულა შეიძლება გამარტივდეს შემდეგნაირად:

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\\end{aligned}}$

ამასთანავე, მწკრივის საშუალო არითმეტიკული შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით: $S_{n}/n$:

${\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

ეს ფაქტობრივად იგივეა, რაც დისკრეტული ერთგვაროვანი განაწილების საშუალო არითმეტიკული, სადაც არითმეტიკული პროგრესია მიიჩნევა თანაბრადმოსალოდნელ ხდომილობების სიმრავლედ.

ნამრავლი

a₁ პირველი წევრის, d სხვაობისა და n რაოდენობის წევრისგან შედგენილი არითმეტიკული პროგრესიის ნამრავლი განისაზღვრება ანალიტიკური გამოსახულებით:

${\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}$

სადაც $\Gamma$ აღნიშნავს გამა-ფუნქციას. ეს ფორმულა არ მოიცავს შემთხვევებს, როცა $a_{1}/d$ უარყოფითი ან ნულოვანია.

ეს წარმოადგენს ზოგად სახეს იმ ფაქტისა, რომ პროგრესიის ნამრავლი $1\times 2\times \cdots \times n$ მოცემულია ფაქტორიალით $n!$, ხოლო ნამრავლი

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n$

$m$ და $n$ ნატურალური მთელი რიცხვებისა მიიღება ფორმულით

${\frac {n!}{(m-1)!}}.$

წარმოება

${\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\[2pt]&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)\\[2pt]&=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\[2pt]&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}$

სადაც $x^{\overline {n}}$ აღნიშნავს ზრდად ფაქტორიალს.

რეკურენტულობის ფორმულით $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$, რომელიც სამართლიანია $z>0$ კომპლექსური რიცხვისთვის,

$\Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)$,

$\Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)$,

ისე, რომ

${\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)$

დადებითი მთელი რიცხვი $m$-სა და დადებითი კომპლექსური რიცხვი $z$-სთვის.

ამრიგად, თუ $a_{1}/d>0$,

$\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}},$

და, საბოლოოდ,

$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

მაგალითები

მაგალითი 1

$a_{n}=3+5(n-1)$ ფორმულით მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის ($3,8,13,18,23,28,\ldots$) პირველი 50 წევრის ნამრავლი ტოლია:

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

მაგალითი 2

პირველი ათი კენტი რიცხვის $(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)$ ნამრავლი ტოლია

$1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}$ = 654 729 075

სტანდარტული გადახრა

არითმეტიკული პროგრესიის სტანდარტული გადახრაა

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

სადაც $n$ არის პროგრესიის წევრთა რაოდენობა, ხოლო $d$ პროგრესიის სხვაობაა. ეს ფორმულა, ფაქტობრივად, იდენტურია დისკრეტული ერთგვაროვანი განაწილების სტანდარტული გადახრის ფორმულისა, რომელშიც არითმეტიკული პროგრესია თანაბრადმოსალოდნელ ხდომილობების სიმრავლედ მიიჩნევა.

თანაკვეთები

ორი ორმხრივ უსასრულო არითმეტიკული პროგრესიის თანაკვეთა შეიძლება იყოს ცარიელი სიმრავლე ან სხვა არითმეტიკული პროგრესია, რომლის პოვნა შეიძლება ნაშთთა ჩინური თეორემის გამოყენებით. თუ ორმხრივი უსასრულო არითმეტიკული პროგრესიების ოჯახში შემავალი ყოველი წყვილი პროგრესიის თანაკვეთაა არაცარიელი სიმრავლე, მაშინ არსებობს ყოველი მათგანისთვის საერთო რიცხვი; შესაბამისად, უსასრულო არითმეტიკული პროგრესიები ქმნიან ჰელის ოჯახს. მაგრამ, უსასრულოდ ბევრი არითმეტიკული პროგრესიის თანაკვეთა ასევე შეიძლება იყოს ერთი რიცხვი და არა, თავისმხრივ, უსასრულო პროგრესია.

{1,...,n} სიმრავლის k სიგრძის არითმეტიკულ ქვესიმრავლეთა რაოდენობა

$a(n,k)$-თი აღვნიშნოთ $k$ სიგრძის არითმეტიკულ ქვესიმრავლეთა ის რაოდენობა, რომელიც შეიძლება შეიქმნეს სიმრავლიდან $\{1,\cdots ,n\}$, ხოლო $\phi (\eta ,\kappa )$ განვსაზღვროთ შემდეგნაირად:

$\phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}$

მაშინ:

${\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}$

მაგალითად, თუ ${\textstyle (n,k)=(7,3)}$, მოსალოდნელია ${\textstyle a(7,3)=9}$ არითმეტიკული ქვესიმრავლე, რაც მექანიკურად დათვლით დასტურდება; ეს ქვესიმრავლეებია: ${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

იხილეთ აგრეთვე

• გეომეტრიული პროგრესია
• ჰარმონიული პროგრესია
• სამკუთხედური რიცხვი
• არითმეტიკულ-გეომეტრიული მიმდევრობა
• საშუალო არითმეტიკულისა და საშუალო გეომეტრიულის უტოლობა
• მარტივი რიცხვები არითმეტიკულ პროგრესიაში
• წრფივი დიფერენციალური განტოლება
• განზოგადებული არითმეტიკული პროგრესია, არითმეტიკულ პროგრესიად დალაგებული მთელი რიცხვების სიმრავლე, რომელსაც პროგრესიის ერთზე მეტი სხვაობა შეიძლება ჰქონდეს
• ჰერონის სამკუთხედები არითმეტიკულ პროგრესიაში შემავალი გვერდებით
• არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანები
• ქვეტონალობა
• არითმეტიკული პროგრესიის ხარისხთა ჯამების გამოსათვლელი მრავალწევრები

ლიტერატურა

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag, გვ. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

რესურსები ინტერნეტში

• არითმეტიკული მწკრივი, მათემატიკური ენციკლოპედია, EMS Press, 2001 [1994]
• ვაისშტაინი, ერიკ უ. არითმეტიკული პროგრესია.
• ვაისშტაინი, ერიკ უ. არითმეტიკული მწკრივი.