წარმოებული

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

წარმოებული - ცნება მათემატიკურ ანალიზში.

ვთქვათ y=f(x) ფუნქცია განსაზღვრულია x_0 წერტილის რაიმე მიდამოში, ხოლო x წარმოადგენს ამ მიდამოს x_0-საგან განსხვავებულ ნებისმიერ წერტილს.

x-x_0 სხვაობას ეწოდება არგუმენტის ნაზრდი x_0 წერტილში და \Delta x სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი. \Delta x=x-x_0, საიდანაც x=x_0+\Delta x. f(x_0+\Delta x)- f(x_0) სხვაობას ეწოდება ფუნქციის ნაზრდი x_0 წერტილში და \Delta f(x_0), ან \Delta y სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.

\Delta f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).

შევნიშნოთ, რომ \Delta x შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგრამ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ფუნქციის ნაზრდი კი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი.

განსაზღვრება x_0 წერტილში f(x) ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან ფარდობის ზღვარს, როდესაც არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისაკენ (თუ ეს ზღვარი არსებობს), ამ წერტილში ფუნქციის წარმოებული ეწოდება და y', f'(x_0), \frac{dy}{dx}, ან \frac{df(x_0)}{dx} სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.,

f'(x_0)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(\Delta x_0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

მაგალითად,y=x2 ფუნქციის წარმოებული x წერტილში არის 2x.
მართლაც

y'= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 +2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}(2x +\Delta x)=2x

ცალკე განვიხილოთ მუდმივის წარმოებული და ვაცვენოთ, რომ იგი ნულის ტოლია. მართლაც,

c'= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=0

მოვიყვანოთ წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი : f(x) ფუნქციის წარმოებული x0 წერტილში წარმოადგენს ამ ფუნქციის გრაფიკის(x0, f(x0))წერტილში გამავალი მხების კუთხურ კოეფიციენტს.

მართლაც, თუ (x0, f(x0)) წერტილში გამავალი AC მხებს განვიხილავთ როგორც წრფეს,რომელიც მიირება AB მონაკვეტიდან, როდესაც B წერტილის მიისწრაფვის A-სკენ, ე.ი. დელტა იქსი მიისწრაფვის ნულისაკენ (იხ. სურ.) მაშინ ცხადია, რომ

\lim_{\Delta x\to 0}\beta = \alpha

და

tg\alpha = \lim_{\Delta x\to 0}tg\beta = \lim\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)

Graphic.jpg

y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი (x0,y0) წერტილში გამავალი მხების განტოლებას აქვს სახე:

y-y_0 = f'(x_0)(x - x_0) — (1)

სადაც y_0=f(x_0). მართლაც ცხადია, რომ (1) წარმოადგენს (x_0, y_0) წერტილში გამავალი წრფის განტოლებას(ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ (1) განტოლებას) და მისი კუთხური კოეფიციენტია f'(x_0).

გამოვარკვიოთ წარმოებულის მექანიკური შინაარსი. ვთქვათ წერტილის მოძრაობის განტოლებაა s=s(t), რომლის მიხედვითაც დროის ნებისმიერ მომენტში შეიძლება გამოვიანგარიშოთ განვლილი მანძილი. როგორც ცნობილია, დროის რაიმე მონაკვეთში \Delta t მონაკვეთში მოძრაობის სასუალო სიჩქარე გამოითვლება ფორმულით:

V = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}= \frac{\Delta s}{\Delta t}

რომელიც მით უკეთესად ახასიატებს წერტილის სიჩქარეს t მომენტში, რაც უფრო მცირეა \Delta t. ამიტომ

S'(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}

შეიძლება განვიხილოთ, როგორც მყისი სიჩქარე t მომენტში.

თუ რაიმე წერტილში ფუნქციას გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას წარმოებადი ეწოდება ამ წერტილში. ფუნქციას ეწოდება წარმოებადი შუალედში, თუ იგი წარმოებადია ამ შუალედის თითოეულ წერტილში.