ტალღა

კაპილარული ტალღა წყალზე

ფიზიკაში ტალღა არის შეშფოთება, რომელიც ვრცელდება სივრცეში და დროში, როგორც წესი ენერგიის გადატანით. მექანიკური ტალღა არის ტალღა, რომელიც მის მიერ გამოწვეული დეფორმაცით გამოწვეული დამაბრუნებელი ძალის არსებობის გამო ვრცელდება გარემოში. მაგალითად, როდესაც ბგერითი ტალღა ვრცელდება ჰაერში, მოლეკულები გადაადგილდებიან და ეჯახებიან თავიანთ მეზობლებს. ეს უკანასკნელები ასევე გადაადგილდებიან და ეჯახებიან ახალ მოლეკულებს და ა. შ. მაგრამ ამ დაჯახებების შედეგად მოლეკულა იწყებს უკან მოძრაობას, რაც ქმნის აღმდგენ ძალას. შედეგად ტალღა ვრცელდება და გადააქვს ენერგია ერთი წერტილიდან მეორეში, ისე რომ ხშირად არ ხდება ნივთიერების გადატანა. მექანიკურ ტალღებში ნაწილაკები ან სხვე ელემენტები როგორც წესი ასრულებენ რხევით მოძრაობებს გარკვეული მდგომარეობის (წონასწორობის მდგომარეობა) ირგვლივ. თუ სურათზე მოცემულ ტალღებზე ტივტივას მოვათავსებთ, შეიძლება დავრწმუნდეთ, რომ ტივტივა იმოძრავებს ზევით და ქვევით ვერტიკალური მიმართულებით, მაშინ როდესაც ტალღა ზედაპირის პარალელურად ვრცელდება.

ტალღების ვაკუუმშიც ვრცელდება. ასეთი ტალღის მაგალითია ელექტრომაგნიტური ტალღა.

განმარტება

ჩიტი (მურტალა) წყალში ჩაყვინთვისას აგენერირებს ზედაპირულ ტალღებს

ტალღის განმარტება არ არის ცალსახა. როგორც წესი ტალღა მოიაზრება როგორც სივრცეში რაიმე შეშფოთების გავრცელება ნივთიერების გადატანის გარეშე. ტალღაში შეშფოთების ენერგია ვრცელდება მისი წყაროდან, თუმცა ეს თვისებაც აუცილებელი ტალღის არსებოვისათვის. მაგალითად მდგარ ტალღაში ენერგია თანაბრად ვრცელდება ორივე მიმართულებით. ასევე, აღსანიშნავია, რომ ელექტრომაგნიტური ტალღა გავრცელებისთვის არ საჭიროებს გარემოს/ნივთიერებას და ვაკუუმშიც ვრცელდება.

მახასიათებლები

პერიოდული ტალღის პროფილს აქვს მაქსიმუმები და მინიმუმები. ტალღები არსებობს გრძივი და განივი. განივი ტალღა არის ტალღა, რომელშიც შეშფოთების ვიბრაციის მიმართულება გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარულია (მაგალითად ელექტრომაგნიტური ტალღა). გრძივი ტალღა არის ტალღა, რომელშიც შეშფოთების ვიბრაციის მიმართულება გავრცელების მიმართულების პარალელურია (მაგალითად ბგერითი ტალღა).

ზედაპირულ ტალღაში ნაწილაკები ელიფსურ ტრაექტორიაზე მოძრაობენ (იხ. სურათი), ამიტომ ტალღის ეს ტიპი არ განეკუთვნება მარტივ განივ ტალღის ტიპს.

A = ღრმა წყალში.
B = მეჩხერ წყალში. სითხის ნაწილაკების ელიფსური მოძრაობა სულ უფრო ბრტყელი ხდება წყლის სიღრმის შემცირებისას.
1 = ტალღის გავცელება
2 = მაქსიმუმი
3 = მინიმუმი

სხვადასხვა ტიპის ტალღებს ახასიათებთ მსგავსი ფიზიკური მოვლენები:

• არეკვლა — ტალღის გავრცელების მიმართულების ცვლილება ამრეკლ ზედაპირზე არეკვლის შემდეგ. კუთხე, რომლითაც ტალღა ეცემა ზედაპირს, მისი არეკვლის კუთხის ტოლია;
• გარდატეხა — ტალღის გავცელების მიმართულების ცვლილება, რომელიც გამოწვეულია ტალღის გავრცელების სიჩქარის ცვლილებასთან ერთი გარემოდან მეორეში გადასვლის დროს;
• დიფრაქცია — წინააღმდეგობების არსებობით გამოწვეული ტალღის გავრცელების დეფორმაცია. მოვლენა განსაკუთრებით ძლიერია, როდესაც დაბრკოლების ზომა ტალღის სიგრძის რიგისაა;
• ინტერფერენცია — ორი ტალღის სუპერპოზიცია რაიმე გარემოში ერთდროულად გავრცელებისას;
• დისპერსია — ტალღის გარდატეხის მაჩვენებელის დამოკიდებულება სიხშირეზე;
• წრფივი გავრცელება — ერთგვაროვან გარემოში წინაღობების გარეშე ტალღა წრფივად ვრცელდება;
• შთანთქმა -- ტალღის ენერგიის გარდაქმნა სხვა ტიპის ენერგიად, მაგალითად სითბოდ.

პოლარიზაცია

მთავარი სტატია : პოლარიზაცია.

განივ ტალღებს შეიძლება გააჩნდეთ პოლარიზაცია, თვისება, რომელიც აღწერს რხევის (ვიბრაციის) ორიენტაციას. მაგალითად ელექტრომაგნიტური ტალღა ხასიათდება პოლარიზაციით.

გრძივ ტალღებს პოლარიზაცია არ გააჩნიათ, რადგან მათი რხევის მიმართულება გავრცელების მიმართულებას ემთხვევა.

მაგალითები

ზედაპირული ტალღა რომელიც კლდეს ენარცხება

ტალღური მოძრაობის მაგალითება:

• ოკეანის ზედაპირული ტალღები, რომლებიც წყალში ვრცელდება;
• ელექტრომაგნიტური ტალღები (ვაკუუმში ვრცელდევა სინათლის სიჩქარით) რომლებიც თავის მხრივ მოიცავს შემდეგ ცნებებს - მიკროტალღა, ინფრაწითელი გამოსხივება, ხილული გამოსხივება, რადიო გამოსხივება, ულტრაიისფერი გამოსხივება, რენტგენის გამოსხივება, გამა გამოსხივება;
• ბგერა — ბექანიკური კუმშვადი ტალღა, რომელიც ვრცელდება აირებში, სითხეებში, მყარ სხეულებსა და პლაზმაში;
• სეისმური ტალღები, რომლებიც ჩნდება მიწისძვრების დროს. სეისმური ტალღები არსებობს S, P, და L ტიპის.
• გრავიტაციული ტალღები რომლებიც არის სივრცე-დროის გავრცელებადი შეშფოთება ფარდობითობის ზოგად თეორიაში;
• ინერციული ტალღა რომელიც არსებობს მბრუნავ სითხეში. ამ ტალღის აღმდგენი ძალა არის კორიოლისის ძალა;
• დე ბროილის ტალღა - კვანტურ მექანიკაში აღწერს ნაწილაკების ტალღურ ბუნებას.

მათემატიკური აღწერა

სინუსოიდალური ტალღის სიგრძე λ შეიძლება გაიზომოს ნებისმიერ ორ წერტილს შორის რომლებსაც ერთიდაიგივე ფაზა აქვს.

სინუსოიდალური ტალღა

მათემატიკურად ყველაზე მარტივი ტალღის ტიპი არის სინუსოიდალური ტალღა (ან სინუსოიდა), რომელშიც მერხევი სიდიდე u აღიწერება განტოლებით:

$u(x, \ t)= A \sin (kx - \omega t + \phi) \ ,$

სადაც A არის ტალღის ამპლიტუდა - წონასწორობის მდგომარეობიდან მერხევი სიდიდის მაქსიმალური გადახრა (იხ. სურათი). x არის სივრცული ცვლადი, t არის დრო, k არის ტალღური რიცხვი, ω არის სიხშირე და φ არის საწყისი ფაზა.

ტალღის სიგრძე (აღინიშნება λ) არის მანძილი ტალღის ორ მომდევნო მაქსიმუმს (ან მინიმუმს) შორის.

ტალღური რიცხვი k, დაკავშირებულია ტალღის სიგრძესთან შემდეგნაირად:

$k = \frac{2 \pi}{\lambda}. \,$

სინუსოიდალური ტალღა ჰარმონიული მოძრაობის მაგალითია.

პერიოდი T არის ტალღის ტალღის ერთი სრული ციკლის დრო. სიხშირე f (ხშირად ასევე აღინიშნება როგორც ν ) არის პერიოდების რაოდენობა დროის ერთეულში და იზომება ჰერცებში. ამ ორ მახასიათებელს შორის ასეთი კავშირია:

$f=\frac{1}{T}. \,$

ტალღის კუთხური სიხშირე ω არის რადიანების სიხშირე წამში (ანუ რადიანებში გაზომილი ფაზის ცვლილება 1 წამში). ის სიხშირესთან შემდეგ კავშირშია:

$\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}. \,$

ოკეანის ტალღის სიგრძის ცვლილება ტალღის ნაპირთან მიახლოებისას.

სინუსოიდალური ტალღის სიგრძე λ, რომელიც მუდმივი v სიჩქარით ვრცელდება არის:

$\lambda = \frac{v}{f},$

გარდატეხა: როდესაც ბრტყელი ტალღა ხვდება გარემოში, სადაც მას ნაკლები გავრცელების სიჩქარე აქვს, ტალღის სიგრძე მცირდება რაც იწვევს გავრცელების მიმართულების ცვლილებას.

სადაც v არის ფაზური სიჩქარე, ხოლო f სიხშირეა.

ტალღის სიგრძე სასარგებლო ცნებაა იმ შემთხვევაშიც, როდესაც ტალღა არ არის პერიოდული სივრცეში. მაგალითად, როდესაც ოკეანის ტალღა უახლოვდება ნაპირს (იხ. სურათი), მისი ტალღის სიგრძე განსხვავებულია სხვადასხვა სიღრმეზე. ამის მოიხედავად წყლის სიღრმისა და ლოკალური ტალღის სიგრძის შედარებით შეიძლება მნიშვნელოვანი ინფორმაციის მიღება ტალღის შესახებ.

ტალღური განტოლება

მთავარი სტატია : ტალღური განტოლება.

ტალღური განტოლება არის კერძო წარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლება რომელიც აღწერს ტალღის გავრცელებას ისეთ გარემოში, სადაც მისი გავრცელების სიჩქარე არ არის დამოკიდებული ტალღის სიგრძეზე და ამპლიტუდაზე (წრფივი გარემო).

კერძოდ, განვიხილოთ ერთგანზომილებიანი ამოცანა, მაგალითად ტალღის გავრცელება სიმში x ღერძის გასწვრივ $v$ სიჩქარით და $u$ ამპლიტუდით (რომელიც ზოგადად დამოკიდებულია როგორც x-ზე, ასევე t-ზე). ასეთ შემთხვევაში ტალღურ განტოლებას აქვს სახე $\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. \,$

ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნი ნაპოვნი იქნა დ'ალამბერის მიერ და ცნობილია, როგორც დ'ალამბერის ფორმულა:

$u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt). \,$

ეს ფორმულა აღწერს ორ შეშფუთებას, რომელიც ვრცელდება რაიმე გარემოში საპირისპირო მიმართულებით. F - ვრცელდება x - ის დადებითი მიმართულებით, ხოლო G უარყოფითი მიმართულებით. F და G ფუნქციები ნებისმიერია და განისაზღვრება საწყისი პირობებით.

შრედინგერის განტოლება

მთავარი სტატია : შრედინგერის განტოლება.

კვანტურ მექანიკაში შრედინგერის განტოლება აღწერს ნაწილაკების ტალღის მაგვარ თვისებებს. ამ განტოლების ამონახსენი არის ტალღური ფუნქცია, რომელიც ახასიათებს ამა თუ იმ წერტილში ნაწილაკის ყოფნის ალბათობას.

ტალღური პაკეტის გავრცელება. ზოგადად პაკეტის მომვლების გავრცელების სიჩქარე არ ემთხვევა პაკეტის შემადგენელი ტალღების გავრცელების სიჩქარეს.

ტალღური პაკეტი და დე ბროილის ტალღის სიგრძე

ლუის დე ბროილის ჰიპოთეზის თანახმად ყველა ნაწილაკს რომელსაც აქვს იმპულსი შეესაბმება ტალღის სიგრძე

$\lambda = \frac{h}{p},$

სადაც h არის პლანკის მუდმივა, და p არის ნაწილაკის იმპულსი. ეს ჰიპოთეზა შეადგენდა კვანტური მექანიკის ერთ-ერთ ფუძემდებლურ დებულებას. დღეს ამ ტალღის სიგრძეს დე ბროილის ტალღის სიგრძე ეწოდება.

ტალღა, რომელიც აღწერს ასეთი ნაწილაკის მოძრაობას k-ს პარალელური მიმართულებით მოიცემა შემდეგი ტალღური ფუნქციით:

$\psi (\mathbf{r}, \ t=0) =A\ e^{i\mathbf{k \cdot r}} \ ,$

სადაც ტალღის სიგრძე განისაზღვრება k ტალღური რიცხვის მეშვეობით შემდეგნაირად:

$\lambda = \frac {2 \pi}{k} \ ,$

ხოლო იმპულსი:

$\mathbf p = \hbar \mathbf{k} \ .$

თუმცა ასეთნაირად განმარტებული ტალღა არ არის ლოკალიზებული სივრცეში და შესაბამისად ვერ აღწერს ნაწილაკს, რომელსაც გარკვეული მდებარეობა აქვს. ამ წინააღმდეგობის დასაძლევად დე ბროილმა ივარაუდა, რომ ნაწილაკს შეესაბამება სხვადასხვა ტალღის სიგრძის ტალღების სუპერპოზიცია - ტალღური პაკეტი, რომელიც სივრცეში ლოკალიზებულია. ასეთი ტალღური პაკეტები კვანტურ მექანიკაში გამოიყენება ნაწილაკის ტალღური ფუნქციის აღსაწერად. პაკეტში ტალღურ რიცხვს არ აქვს ფიქსირებული მნიშვნელობა - ის განსხვავებული ტალღის სიგრძის ტალღების ნარევს წარმოადგენს.

ლოკალიზებული ნაწილაკის აღმწერ ტალღურ ფუნქციად ხშირად იღებენ გაუსური ფორმის პაკეტს. გაუსურ ტალღურ ფუნქციას ψ შეიძლება ქონდეს ასეთი სახე

$\psi(x,\ t=0) = A\ \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} + i k_0 x \right) \ ,$

რაღაცა საწყის t = 0 მომენტში, სადაც საშუალო ტალღის სიგრძე დაკავშირებულია საშუალო საშუალო ტალღურ ვექტორთან k₀ როგორც λ₀ = 2π / k₀. ფურიე ანალიზის თეორიიდან, და ჰაიზენბერგის განუზღვრელობის პრინციპიდან (კვანტურ მექანიკაში) ცნობილია, რომ რაც უფრო ლოკალიზებულია პაკეტი სივრცეში, მით უფრო მეტი სხვადასხვა ტალღის სიგრძის ტალღებბს მოიცავს იგი. გაუსური ფუნქციის ფურიეს გარდაქმნა ისევ გაუსური ფუნქციაა. მაგალითად, თუ გაუსურ ფუნქციას აქვს სახე:

$f(x) = e^{-x^2 / (2\sigma^2)} \ ,$

მისი ფურიე გარდაქმნა არის:

$\tilde{ f} (k) = \sigma e^{-\sigma^2 k^2 / 2} \ .$

მოდულირებული ტალღის მომვლები (წითელი წირი).

მოდულირებული ტალღა

ტალღის ამპლიტუდა შეიძლება იყოს მუდმივი, ან მოდულირებული ანუ იცვლებოდეს დროში ან სივრცეში. ამპლიტუდის ცვლილების აღმწერ კონტურს ტალღის მომვლები ეწოდება. მათემატიკურად მოდულირებული ტალღა შეიძლება ასე ჩაიწეროს

$u(x, \ t) = A(x, \ t)\sin (kx - \omega t + \phi) \ ,$

სადაც $A(x,\ t)$ არის მოდულირებული ამპლიტუდა, $k$ არის ტალღური რიცხვი და $\phi$ არის ფაზა. თუ ჯგუფური სიჩქარე (იხ. ქვევით) არ არის დამოკიდებული ტალღის სიგრძეზე, მაშინ ეს განტოლება მარტივდება და იღებს სახეს

$u(x, \ t) = A(x - v_g \ t)\sin (kx - \omega t + \phi) \ ,$

სადაც v_g არის ჯგუფური სიჩქარე. უკანასკნელი განტოლება გვიჩვენებს, რომ ტალღური პაკეტის მომვლები გადაადგილდება v_g სიჩქარით და ინარჩუნებს თავის ფორმას. თუ ჯფუფური სიჩქარე ტალთის სიგრძეზე დამოკიდებულია, მაშინ მომვლების ფორმა დროში მუდმივი არ არის.

ფაზური და ჯგუფური სიჩქარე

ღრმა წყალში გავრცელებადი ზედაპირული გრავიტაციული ტალღების სიხშირის დისპერსიის ილუსტრაცია. წითელი წერტილი მოძრაობს ფაზური სიჩქარით, ხოლო მწვანე წერტილი კი ჯგუფური სიჩქარით.

მთავარი სტატია : ფაზური სიჩქარე და ჯგუფური სიჩქარე.

არსებობს ორი ტიპის სიჩქარე, რომელიც ტალღის გავრცელებასთან ასოცირდება - ფაზური სიჩქარე და ჯგუფური სიჩქარე. ამ ცნებების განმარტებისთვის განვიხილოთ უმარტივესი ერთგანზომილებიანი ამოცანა.

ტელღის ყველაზე მარტივი ტიპი, ბრტყელი ტალღა, ასე ჩაიწერება:

$\psi (x, \ t) = A e^{i \left( kx - \omega t \right)} \ ,$

თუ ექსპონენტის არგუმენტს ასე გადავწერთ, (kx −ωt) = (2π/λ)(x − vt), ცხადი გახდება, რომ ეს განტოლება აღწერს λ = 2π/k ტალღის სიგრძის შეშფოთების გავრცელებას x-ღერძის გასწვრივ მუდმივი ფაზური სიჩქარით v_p:

$v_p = \frac { \omega }{ k } \ .$

ახლა განვიხილოთ ლოკალიზებული ტალღური პაკეტის გავრცელება, რომელიც მაგალითად მოიცემა ასეთი განტოლებით:

$\psi (x, \ t) = \int_{-\infty} ^{\infty}\ dk_1 \ A(k_1)\ e^{i\left(k_1x - \omega t \right)} \ ,$

სადაც A(k₁) (the integral is the inverse fourier transform of A(k1)) is a function exhibiting a sharp peak in a region of wave vectors Δk surrounding the point k₁ = k. In exponential form:

$A = A_o (k_1) e^ {i \alpha (k_1)} \ ,$

with A_o the magnitude of A. For example, a common choice for A_o is a Gaussian wave packet:

$A_o (k_1) = N\ e^{-\sigma^2 (k_1-k)^2 / 2} \ ,$

where σ determines the spread of k₁-values about k, and N is the amplitude of the wave.

The exponential function inside the integral for ψ oscillates rapidly with its argument, say φ(k₁), and where it varies rapidly, the exponentials cancel each other out, interfere destructively, contributing little to ψ. However, an exception occurs at the location where the argument φ of the exponential varies slowly. (This observation is the basis for the method of stationary phase for evaluation of such integrals.) The condition for φ to vary slowly is that its rate of change with k₁ be small; this rate of variation is:

$\left . \frac{d \varphi }{d k_1} \right | _{k_1 = k } = x - t \left . \frac{d \omega}{dk_1}\right | _{k_1 = k } +\left . \frac{d \alpha}{d k_1}\right | _{k_1 = k } \ ,$

where the evaluation is made at k₁ = k because A(k₁) is centered there. This result shows that the position x where the phase changes slowly, the position where ψ is appreciable, moves with time at a speed called the group velocity:

$v_g = \frac{d \omega}{dk} \ .$

The group velocity therefore depends upon the dispersion relation connecting ω and k. For example, in quantum mechanics the energy E = ħω = (ħk)²/(2m). Consequently,

$\frac{d \omega}{dk}= v_g = \frac {\hbar k}{m} \ ,$

showing that the velocity of a localized particle in quantum mechanics is its group velocity. Because the group velocity varies with k, the shape of the wave packet broadens with time, and the particle becomes less localized. In other words, the velocity of the constituent waves of the wave packet travel at a rate that varies with their wavelength, so some move faster than others, and they cannot maintain the same interference pattern as the wave propagates.

მდგარი ტალღა

მთავარი სტატია : მდგარი ტალღა.

მდგარი ტალღა სტაციონარულ გარმოში. წითელი წერტილები შეესაბამება ტალღის სტაციონარულ კვანძებს.

მდგარი ტალღა ეწოდება ისეთ ტალღას, რომელსაც მუდმივ მდებარეობაში რჩება. ასეთ მოვლენას შეიძლება ადგილი ქონდეს ორი მიზეზის გამო: თუ გარემო მოძრაობს ტალღის გავრცელების საპირისპირო მიმართულებით, ან ორი საპირისპირო მიმართულებით გავრცელებადი ტალღის ინტერფერენციის შედეგად.

ტოლი ამპლიტუდისა და სისხშირის ორი საწინააღმდეგო მიმართულებით გავრცელებადი ტალღის ჯამი წარმოადგენს მდგარ ტალღას. მდგარი ტალღა ხშირად ჩნდება ისეთ სიტუაციებში, როდესაც საზღვარი აღარ აძლევს ტალღას გავრცელების საშუალებას, ტალღა ირეკლება და ბუნებრივად ქმნის საწინააღმდეგოდ გავრცელებულ ტალღას. ასეთი მოვლენა ხშირად დაიმზირება სიმიან მუსიკალურ ინსტრუმენტებში.

გავრცელება სიმში

სიმში გავრცელებადი ტალღის სიჩქარე (v) პირდაპირ პროპორციულია სიმის დაჭიმულობისა (T) და წრფივი სიმკვრივის (μ) ფარდობიდან ფესვისა:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}, \,$

სადაც წრფივი სიმკვრივე μ არის სიმის ერთეულოვან სიგრძის მასა.

იხილეთ აგრეთვე

• კაპილარული ტალღა
• დოპლერის ეფექტი
• ჯგუფური სიჩქარე
• ინერციული ტალღა
• ზედაპირული ტალღა
• ფაზური სიჩქარე
• რეზონანსი
• მდგარი ტალღა

რესურსები ინტერნეტში

• ტალღების ინტერაქტიური ილუსტრაცია
• დიფრაქციის ილუსტრაცია
• ინტერფერენციის ილუსტრაცია
• გრძივი ტალღის ილუსტრაცია
• სტაციონარული ტალღის ილუსტრაცია
• განივი ტალღის ილუსტრაცია