ლოკალური ჰომეომორფიზმი

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება

მათემატიკაში, კერძოდ კი ტოპოლოგიაში, ლოკალური ჰომეომორფიზმი, ინტუიციურად წარმოადგენს ფუნქციას, f, ტოპოლოგიურ სივრცეებს შორის, რომელიც ინახავს ლოკალურ სტრუქტურას.

ფორმალური განსაზღვრება[რედაქტირება]

ვთქვათ X და Y ტოპოლოგიური სივრცეებია. უწყვეტი ფუნქცია f : X \to Y\, არის ლოკალური ჰომეომორფიზმი[1] თუ ყოველი წერტილისათვის x \in X არსებობს x-ის შემცველი ღია სიმრავლე U , ისეთი რომ f(U) ღიაა Y-ში და შეზღუდვა f|_U : U\to f(U)\, ჰომეომორფიზმია.

მაგალითები[რედაქტირება]

განსაზღვრების თანახმად, ყოველი ჰომეომორფიზმი ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

თუ U ღიაა Y-ში ქვესივრცის ტოპოლოგის მიმართ, მაშინ ჩადგმა i : UY ლოკალური ჰომეომორფიზმია. ღიობა მნიშვნელოვანია: არაღიას ჩადგმა Y-ში არასდროს არ არის ლოკალური ჰომეომორფიზმი.

ყოველი გადაფარვა ლოკალური ჰომეომორფიზმია; კერძოდ, უნივერსალური გადაფარვა p : CY Y სივრცეზე ლოკალური ჰომეომორფიზმია. ზოგჯერ შებრუნებილიც სამართლიანია: თუ X და Y ლოკალურად კომპაქტური ტოპოლოგიური სივრცეებია და p : XY არის proper ლოკალური ჰომეომორფიზმი, მაშინ p გადაფარვაა.

თუ f : S1S1 არის წრეწირის დახვევა თავისთავზე n-ჯერ. f ლოკალური ჰომეომორფიზმია არანულოვანი n-თვის, ჰომეომორფიზმი კი მხოლოდ იმ შემთხვევაში თუ ის ბიექციაა, n = 1 ან -1.

თვისებები[რედაქტირება]

ყოველი ლოკალური ჰომეომორფიზმი უწყვეტი და ღიაა ასახვაა. ბიექციური ლოკალური ჰომეომორფიზმი ჰომეომორფიზმიცაა.

ლოკალური ჰომეომორფიზმი f : XY ინახავს „ლოკალურ“ ტოპოლოგიურ თვისებებს:

თუf : XY ლოკალური ჰომეომორფიზმია და U არის ღია სიმრავლე X-ში, მაშინ შეზღუდვა f|U ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

თუ f : XY და g : YZ ლოკალური ჰომეომორფიზმებია, მაშინ კომპოზიცია gf : XZ ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

ლოკალური ჰომეომორფიზმები ბოლოთი Y ურთიერთცალსახა თანადობაშია სიმრავლურ კონებთან Y-ზე. მეტიც, ყოველი უწყვეტი ასახვა ბოლოთი Y ბუნებრივად გააჩენს ერთადერთნაირად განსაზღვრულ ლოკალურ ჰომეომორფიზმს ბოლოთი Y.

სქოლიო[რედაქტირება]