ლოკალური ჰომეომორფიზმი

მათემატიკაში, კერძოდ კი ტოპოლოგიაში, ლოკალური ჰომეომორფიზმი, ინტუიციურად წარმოადგენს ფუნქციას, f, ტოპოლოგიურ სივრცეებს შორის, რომელიც ინახავს ლოკალურ სტრუქტურას.

ფორმალური განსაზღვრება

ვთქვათ X და Y ტოპოლოგიური სივრცეებია. უწყვეტი ფუნქცია $f:X\to Y\,$ არის ლოკალური ჰომეომორფიზმი თუ ყოველი წერტილისათვის x $\in$ X არსებობს x-ის შემცველი ღია სიმრავლე U , ისეთი რომ $f(U)$ ღიაა Y-ში და შეზღუდვა $f|_{U}:U\to f(U)\,$ ჰომეომორფიზმია.

მაგალითები

განსაზღვრების თანახმად, ყოველი ჰომეომორფიზმი ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

თუ U ღიაა Y-ში ქვესივრცის ტოპოლოგის მიმართ, მაშინ ჩადგმა i : U → Y ლოკალური ჰომეომორფიზმია. ღიობა მნიშვნელოვანია: არაღიას ჩადგმა Y-ში არასდროს არ არის ლოკალური ჰომეომორფიზმი.

ყოველი გადაფარვა ლოკალური ჰომეომორფიზმია; კერძოდ, უნივერსალური გადაფარვა p : C → Y Y სივრცეზე ლოკალური ჰომეომორფიზმია. ზოგჯერ შებრუნებილიც სამართლიანია: თუ X და Y ლოკალურად კომპაქტური ტოპოლოგიური სივრცეებია და p : X → Y არის proper ლოკალური ჰომეომორფიზმი, მაშინ p გადაფარვაა.

თუ f : S¹ → S¹ არის წრეწირის დახვევა თავისთავზე n-ჯერ. f ლოკალური ჰომეომორფიზმია არანულოვანი n-თვის, ჰომეომორფიზმი კი მხოლოდ იმ შემთხვევაში თუ ის ბიექციაა, n = 1 ან -1.

თვისებები

ყოველი ლოკალური ჰომეომორფიზმი უწყვეტი და ღიაა ასახვაა. ბიექციური ლოკალური ჰომეომორფიზმი ჰომეომორფიზმიცაა.

ლოკალური ჰომეომორფიზმი f : X → Y ინახავს „ლოკალურ“ ტოპოლოგიურ თვისებებს:

• X არის ლოკალურად ბმული მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ f(X) არის ასეთი.
• X არის ლოკალურად გზებით-ბმული მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ f(X) არის ასეთი.
• X არის ლოკალურად კომპაქტური მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ f(X) არის ასეთი.

თუf : X → Y ლოკალური ჰომეომორფიზმია და U არის ღია სიმრავლე X-ში, მაშინ შეზღუდვა f|_U ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

თუ f : X → Y და g : Y → Z ლოკალური ჰომეომორფიზმებია, მაშინ კომპოზიცია gf : X → Z ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

ლოკალური ჰომეომორფიზმები ბოლოთი Y ურთიერთცალსახა თანადობაშია სიმრავლურ კონებთან Y-ზე. მეტიც, ყოველი უწყვეტი ასახვა ბოლოთი Y ბუნებრივად გააჩენს ერთადერთნაირად განსაზღვრულ ლოკალურ ჰომეომორფიზმს ბოლოთი Y.