ლის ალგებრის წარმოდგენა

მათემატიკაში ლის ალგებრის წარმოდგენა აკავშირებს მოცემულ ლის ალგებრას ზოგად წრფივ ლის ალგებრასათან. უფრო დაწვრილებით, მოდი $\mathfrak{g}$ იყოს ლის ალგებრა და მოდი V იყოს ვექტორული სივრცე. გავიხსენოთ, რომ $\mathfrak{gl}(V)$ აღნიშნავს ლის ალგებრას, რომლის ელემენტებია V-დანV-ში ყველა წრფივი ასახვა, ხოლო ფრჩხილი მოიცემა ტოლობით: [A,B]=AB-BA. ვიტყვით, რომ მოცემული გვაქვს $\mathfrak{g}$ ლის ალგებრის წარმოდგენა V ვექტორულ სივრცეში, თუ მოცემულია ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი $\phi\,:\,\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$. ეს ცნება ექვივალენტურია $\mathfrak{g}$-მოდულის ცნებისა, რომელიც მოიცემა ორადწრფივი ასხავით $\mathfrak{g}\times V\to V$ რომლისთვისაც სრულდება ტოლობა:

$[x,y]\cdot v= x\cdot (y\cdot v)- y\cdot (x\cdot v)$

x და y არიან $\mathfrak{g}$-ს ელემენტები. კავშირი ორ ცნებას შორის მოიცემა ტოლობით $x\cdot v=(\phi (x))(v)$. ორივე ცნება ექვივალენტურია $\mathfrak{g}$ ლის ალგებრის უნივერსალური მომვლებ ალგებრაზე $U(\mathfrak{g})$ მოდულის ცნებისა.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Springer; 2006. ISBN-10: 3540353356.