დირაკის დელტა ფუნქცია

დირაკის დელტა ფუნქციის სქემატური ილუსტრაცია.

დირაკის დელტა ფუნქცია, როგორც გაუსის განაწილების $\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$ (როდესაც $a\to 0$) მიმდევრობის ზღვრული შემთხვევა.

დირაკის დელტა ფუნქცია, ან δ ფუნქცია, წარმოადგენს განზოგადებულ ფუნქციას დამოკიდებულს რეალურ ცვლადზე, ისე, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია ნულის ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის გარდა იმ შემთხვევისა,როდესაც პარამეტრის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ხოლო ამ ფუნქციის ინტეგრალი −∞ დან ∞ -მდე 1-ის ტოლია. ეს ფუნქცია შგანსაზღვრული იქნა ფიზიკოს-თეორეტიკოსის პოლ დირაკის მიერ. დირაკის დელტა ფუნქცია წარმოადგენს კრონეკერის სიმბოლოს უწყვეტ ანალოგს.

განმარტება

დირაკის დელტა ფუნქცია შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა ნულის ტოლია ყველა წერტილში გარდა ნულისა, სადაც მისი მნიშვნელობა უსასრულოა:

$\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

ასვე, განმარტების თანახმად იგი აკმაყოფილებს პირობას.

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.$

ეს განმარტება გარკვეულწილად ევრისტიკულია. დირაკის დელტა ფუნქცია არ წარმოადგენს რეალურ ფუნქციას. მისი მკაცრი გამნარტება შესაძლებელია განაწილების ან ზომის ცნების გამოყენებით.

თვისებები

სიმეტრია და მასშტაბური ინვარიანტობა

დირაკის დელტა ფუნქცია აკმაყოფილებს შემდეგ მაშტაბურ ინვარიანტობის თვისებას ნებისმიერი არანულოვანი α სკალარისთვის:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}$.

გარდა ამისა, დირეკის დელტა ფუნქცია არის ლუწი ფუნქცია, ასე რომ

$\delta(-x) = \delta(x)$.

სხვანაირად, დირაკის ფუქცია არის ერთგავროვანი ფუნქცია −1-ის ტოლი ერთგვაროვნების ინდექსით.

ალგებრული თვისებები

განაწილება, რომელიც მიიღება δ-ფუნქციის x-ზე ნამრავლით ნულის იგივურად ტოლია:

$x\delta(x) = 0.$

საპირისპიროდ, თუ xf(x) = xg(x), სადაც f და g განაწილებებია, მაშინ

$f(x) = g(x) +c \delta(x)$

სადაც c დაიმე მუდმივია.

წანაცვლება

დროში წანაცვლებული დელტა ფუნქციის ინტეგრალი მოიცემა როგორც:

$\int\limits_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t-T)\,dt = f(T)$.

კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან

კრონეკერის სიმბოლო delta $\delta_{ij}$ არის სიდიდე, რომელიც განისაზღვრება როგორც

$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j\\ 0 &i\not=j \end{cases}$

i და j ნატურალური მნიშვნელობებისთვის. ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისების მსგავს თვისებას: თუ $(a_i)_{i \in \mathbb{Z}}$ არის ნებისმიეირ უსასტულო მიმდევრობა, მაშინ

$\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ik}=a_k.$

ანალოგიურად, ნებისმიეირი უწყვეტი ფუნქციისთვის $f$ განსაზღვრულს რაიმე არეში $\mathbb{R}$, დირალის დელტა ფუნცია აკმაყოფილებს წანაცვლების თვისებას

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).$

იხილეთ აგრეთვე

• კრონეკერის სიმბოლო
• ლევი-ჩივიტას სიმბოლო
• გრინის ფუნქცია