ამპერის კანონი

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
„ამპერის კანონი წრედისთვის“ ამ სტატიაზე გადმოდის. კანონი, რომელიც აღწერს ძალას ორ დენიან გამტარს შორის იხ. ამპერის ძალა.


კლასიკურ ელექტროდინამიკაში ამპერის კანონი, რომელიც აღმოჩენილი იქნა ანდრე მარი ამპერის მიერ 1826 წელს, აკავშირებს ჩაკეტილ კონტურში გამავალ ელექტრულ დენს მის ირგვლივ წარმოქმნილი მაგნიტურ ველთან. მაქსველმა ხელახლა გამოიყვანა ეს კანონი ელექტროდინამიკის ფარგლებში 1861 წელს (და შეიტანა მასში მნიშვნელოვანი შესწორება წანაცვლების დენის სახით). დღესდღეობით ამპერის კანონი (მაქსველის შესწორებით) არის ოთხი მაქსველის განტოლებიდან ერთ-ერთი, რომლებიც კლასიკური ელექტროდინამიკის საფუძველს შეადგენენ.

ამპერის ფორმულირება[რედაქტირება]

თავისი ისტორიული ფორმით ამპერის კანონი ერთმანეთთან აკავშირებს ელექტრულ დენს და მის მიერ გენერირებულ მაგნიტურ ველს. ისევე როგორც ელექტროდინამიკის სხვა კანონები, ამპერის კანონსაც აქვს ორი ექვივალენტური ფორმა: ე.წ. ინტეგრალური და დიფერენციალური. ორივე ფორმა ექვივალენტურია და დაკავშირებულია ერთმანეთთან სტოქსის თეორემით.

ინტეგრალური ფორმა[რედაქტირება]

SI სისტემის ერთეულებში (გაუსის ერთეულთა სისტემაში კანონის ფორმულირება იხილეთ ქვევით) ამპერის კანონს (მაქსველის კორექციის - წანაცვლების დენის გარეშე) აქვს სახე:[1][2]

\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \iint_S \mathbf{J}_{\mathrm{f}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}

ან ექვივალენტურად,

\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}}

სადაც

\textstyle \oint_C არის წირითი ინტეგრალი რაიმე ჩაკეტილ ს C კონტურზე;
B არის მაგნიტური ინდუქცია ტესლებში;
· აღნიშნავს სკალარულ ნამრავლს;
d არის C წირის უსასრულოდ მცირე ელემენტი (ანუ ვექტორი, რომლის სიდიდე ელემენტის სიგრძის ტოლია, ხოლო მიმართულება კი მოცემულ წერტილში წირის მხების მიმართულებას ემთხვევა);
\textstyle \iint_S აღნიშნავს ინტეგრალს C წირით შემოსაზღვრულ S ზედაპირზე;
μ0 არის მაგნიტური მუდმივა;
Jf არის თავისულფალი დენის სიმკვრივე C წირით შემოსაზღვრულ S ზედაპირზე;
dS არის S ზედაპირის უსასრულოდ მცირე ვექტორული ელემენტი (ანუ ვექტორი, რომლის სიდიდე ელემენტის ფართობის ტოლია, ხოლო მიმართულება მოცემულ წერტილში S ზედაპირის გარე ნორმალის მიმართულებას ემთხვევა; და
Ienc არის სრული თავისუფალი დენი, რომელიც გადის S ზედაპირში.

ასეთ განმარტება მოიცავს გარკვეულ განუზღვრელობას:

პირველი, განტოლებაში შემავალი სამი წევრი არ არის ცალსაცად განსაზღვრული (განსაზღვრულია ნიშნის სიზუსტით). წირითი ინტეგრალი \textstyle \oint_C შეიძლება აჭებული იქნას ჩაკეტილი წირის გასწვრივ ორივე მიმართულებით (როგორც საათის ისრის, ასევე მისის საწინააღმდეგო); ვექტორულიფ ფართის ელემენტი dS-ის მიმართულება შეიძლება არჩეული იქნას ნებისმიერად (ანუ ის შეიძლება მიმართული იქნას მოცემულ წერტილში S ზედაპირის ორივე ნორმალის პარალელურად); და დენი Ienc-ს განმარტებაში დადებით მიმართულებას შეიძლება არჩეული იქნას ნებისმიერი (ორი შესაძლო) მიმართულებიდან. ამ განუზღვრელობას ხსნის ე.წ. მარჯვენა ხელის წესი: თუ მარჯვენა ხელის გული მოთავსებულია ინტეგრების არის პარალელურად და საცვენებელი თითი გაშვერილია წირითი ინტეგრალის ინტეგრების მიმართულებით, მაშინ (ხელის გულის მართობულად) გაშლილი ცერი თითი მიუთითებს იმ მიმართულებას, რომელიც უნდა იქნას აღებული dS ფართობის ელემენტის დადებით მიმართულებად. ასევე, დენი, რომელიც გადის dS ელემენტის პარალელურად უნდა იქნას განხილული როგორც დადებითი.

მეორე განუზღვრელობა იმაში მდგომარეობს, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი S ზედაპირი, რომელიც შემოსაზღვრულია რაიმე C წირით. ერთი შეხედვით არაა ცხადი, რომელი ზედაპირი უნდა იქნას არჩეული ინტეგრებისთვის. ამ განუზღვრელობის გადაჭრის გზა ასეთია: ამპერის კანონი ამტკიცებს, რომ S ზედაპირი შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ანუ ზემოთ მოყვანილი განტოლება სამართლიანია ნებისმიერი S ზედაპირისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია C წირით.

დიფერენციალური ფორმა[რედაქტირება]

სტოქსის თეორემის გამოყენებით ამპერის კანონი შეიძლება ჩაწერილი იქნას აგრეთვე დიფერენციალური ფორმით. ისევე როგრც ზემოთ, განტოლება სამართლიანია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ელექტრული ველის დაძაბულობა მუდმივია დროში (განზოგადება იხ. ქვევით). SI სისტემაში განტოლებას აქვს სახე

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J_f}

სადაც

\mathbf{\nabla} \times \!\ არის როტორის ოპერატორი.

თავისუფალი და ბმული დენები[რედაქტირება]

ელექტრული დენი, რომელიც გვხვდება უმარტივეს ამოცანებში სინამდვილეში წარმოადგენს ე.წ. თავისუფალ დენს. მაგალითად, დენი, რომელიც გადის რაიმე გამტარში, ან ბატარეაში. ამის საპორისპიროდ, მბული დენი ჩნდება პოლარიზებად ან დამაგნიტებად სხეულებში.

როდესაც მაგნიტურად აქტიური ნივთიერება მოთავსებულია გარე მაგნიტურ ველში, მისი ელექტრონები რჩებიან ბმული თავის ატომებში, მაგრამ მცირედ იცვლიან ტრაექტორიას (კვანტური მექანიკის მიხერვით განაწილების ფუნქციას), ისე რომ ქმნიან მიკროსკოპულ დენს. ყველა ატომის მოკრსკოპული დენის ჯამი ქმნის მაკროსკოპულ დენს, რომელიც ცირკულირებს სხეულის გარშემო (ვინაიდან სხეულის შიგნით სხვადასხვა მიკროსკოპული დენები ერთმანეთს აკომპენსირებს). ეს დენი, რომელსაც დამაგნიტების დენი ეწოდება წარმოადგენს ბმული დენის პირველ სახეობას.

ბმული დენის მეორე წყაროა ბმული მუხტი. როდესაც დიელექტრიკზე მოდებულია ელექტრული ველი, ხდება მისი ატომებში დადებითი და უარყოფითი მუხტების საშუალო მდებარეობის მიკროსკოპული დაშორება (ანუ დიელექტრიკი პოლარიზდება). ბმული მუხტის მოძრაობა იწვევს დენს (ე.წ. პოლარიზაციული დენი JP) რომელიც ბმული დენის მეორე წყაროს შეადგენს.

შესაბამისად, სრული დენი J შეიძლება განვიხილოთ როგორც თავისუფალი და ბმული დენების ჯამი:

\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P} \ ,

სადაც Jf არის თავისუფალი დენის სიმკვრივე.

აღსანიშნავია, რომ თავისუფალ და ბმულ დენებს შორის რაიმე ფუნდამენტური განსხვავება არ არსებობს. მაგრამ კონკრეტულ ამოცანებში არსებობს სერიოზული პრაქტიკული მიზეზები ამ დენების ცალ-ცალკე განსახილველად. ხშირად არ არის აუცილებელი განსახილველი სხეულის/გარემოს მაგნიტურ თვისებებში დეტალური ჩაღრმავება.დენების გაყოფა თავისუფლას და ბმულას საშუალებას იძლევა ჩამოვაყალიბოთ ამპერის კანონი მხოლოდ თავისუფალი დენის მეშვეობით, თუ მაგნიტური ინდუქცია B -ს ნაცვლად განვიხილავთ მაგნიტური ველის დაძაბულობა H-ს. შედეგად, თუ (ექსპერიმენტულად ან თეორიულად) ცნობილია კავშირი მოცემული სხეულისთვის B -სა და H-ს შორის (იხ. მაგნიტური შეღწევადობა), მაშინ კონკრეტული ამოცანის ამოსახსნელად შეიძლება საერთოდ არ აღმოჩნდეს აუცილებელი სხეულის/ამოცანის მიკროსკოპული დეტალების განხილვა.

ამპერის ფორმულირების ხარვეზები[რედაქტირება]

ამპერის კანონთან დაკავშირებით არსებობს ორი საკითხი, რომელიც უფრო დეტალურ ანალიზს საჭიროებს. პირველი ეხება ელექტრული მუხტის უწყვეტობის განტოლებას. ვექტორული ანალიზიდან ცნობილია, რომ ნებისმიერი ვექტორული ველის როტორის დივერგენცია ნულის ტოლია. მაშასადამე ∇·(∇×B) = 0 და თუ ზემოთ მოყვანილი ფორმულირებით ამპერის კანონიდან გამომდინარეობს, რომ ∇·J = 0. მაგრამ ზოგად შემთხვევაში მუხტის შენახვის კანონს აქვს სახე ∇·J  = −∂ρ/∂t, ანუ დენის სიმკვრივის დივერგენცია არ არის ნულის ტოლი, თუ მუხტის სიმკვრივე დროში იცვლება.[3][4][5][6][7]

მეორე პრობლემა ეხება ელექტრომაგნიტური ტალღის გავრცელებას. მაგალითად ვაკუუმში, სადაც J = 0, ამპერის კანონი გვაძლევს ∇×B = 0 (რაც შეიძლებელს ხდის ვაკუუმში ელექტრომაგნიტური ტალღის გავრცელებას), იმის ნაცვლად რომ გვქონდეს მართებული თანაფარდობა ∇×B = −(1/c2) ∂E/∂t.

ამ პრობლემების გადაჭრა შესაძლებელია ამპერის კანონში ე.წ. წანაცვლების დენის დამატებით, რაც განახორციელა ჯეიმზ კლარკ მაქსველმა.[8]

წანაცვლების დენი[რედაქტირება]

Searchtool-80%.png მთავარი სტატია : წანაცვლების დენი.

ვაკუუმში წანაცვლების დენი დაკავშირებულია ელექტრული ველის დაძაბულობის დროში ცვლილების ტემპთან.

დიელექტრიკულ გარემოში გარდა ამ ნაწილისა, წანაცვლების დენს აქვს მეორე კომპონენტი, რომელიც დაკავშირებულია დიელექტრიკული გარემოს თითოეული მოლეკულის/ატომის პოლარიზაციასთან. მოიხედავად იმისა, რომ დიელექტრიკში დამუხტულ ნაწილაკებს თავისუფლად გადაადგილება არ შეუძლიათ, ელექტრული ველის გავლენით დადებითად და უარყოფითად დამუხტული ნაწილაკები წაინაცვლებენ მოლეკულაში/ატომში საწინააღმდეგო მიმართულებით, რაც იწვევს პოლარიზაციის ზრდას. ეს უკანასკნელი აღიწერება პოლარიზაციის ვექტორით P, ხოლო პოლარიზაციის ცვლილება დროში დენის ექვივალენტურია.

წანაცვლების დენში ორივე ამ წვლილის გათვალისწინება გვაძლევს[3]

\mathbf{J_D} = \frac {\partial}{\partial t} \mathbf D (\boldsymbol r , \ t) \ ,

სადაც ელექტრული ინდუქცია განიმარტება როგორც:

 \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\ ,

აქ ε0 არის ელექტრული მუდმივა ხოლო P არის პოლარიზაციის ვექტორი. თუ ამ განტოლებას წინაში ჩავსვამთ, მივიღებთ, რომ წანაცვლების დენო ორი ნაწილისგან შედგება:

 \mathbf{J}_\mathrm{D} = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}.

პირველი წევრი არსებობს ნებისმიერ გარემოში, მათ შორის ვაკუუმში. ის არ ასოცირდება რაიმე მუხტის მოძრაობასთან, არამედ დაკავშირებულია მაგნიტურ ველთან. ზოგიერთი ავტორი მხოლოდ ამ ნაწილს უწოდებს წანაცვლების დენს[9]

განტოლების არჯვენა მხარეში მყოფი მეორე წევრი არის ის წანაცვლების დენი, რომელიც შემოღებული იქნა მაქსველის მიერ.

პირველად ფორმულირების განზოგადება: მაქსველ-ამპერის განტოლება[რედაქტირება]

წანაცვლების დენის გათვალისწინებით ამპერის კანონს (მაქსველ-ამპერის განტოლება) ინტეგრალური ფორმით აქვს სახე:

\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =  \iint_S \left( \mathbf{J}_{\mathrm{f}} + \frac{\partial }{\partial t}\mathbf{D} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}

სადაც H არის მაგნიტური ველის დაძაბულობა, D არის ელექტრული ინდუქცია, ხოლო Jf არის თავისუფალი დენის სიმკვრივე. იგივე განტოლების დიფერენციალურ ფორმას აქვს სახე:

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{\mathrm{f}}+\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{D} \ .

მეორე მხრივ, თუ არ განვაცალებთ თავისუფალ და ბმულ მუხტებსა და დენებს, მაშინ იგივე განტოლება მიიღებს სახეს:

\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =  \iint_S \left( \mu_0 \mathbf{J}+ \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\mathbf{E} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}

ხოლო დიფერენციალური ფორმა იქნება

\mathbf{\nabla}\times \mathbf{B} = (\mu_0\mathbf{J}+\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\mathbf{E}) \ .

ორივე განტოლებაში J აღნიშნავს სრულ (ანუ ყველა ტიპის მუხტების მოძრაობით გამოწვეულ) დენის სიმკვრივეს, ანუ გვაქვს:

 \mathbf{J_f+J_D +J_M} = \mathbf{J_f +J_P +J_M} + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mathbf{J}+ \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf{E}}{\partial t} \ ,

სადაც JD არის წანაცვლების დენი. წანაცვლების დენის შემოღებით ბუნებრივად იხსნება წინააღმდეგობა ამპერის კანონსა და მუხტის შენახვის კანონს შორის.

წანაცვლების დენის დამატებამ მაქსველს მისწა საშუალება (მართებულად) ევარაუდა, რომ სინათლე არის ელექტრომაგნიტური ტალღა.

ამპერის კანონი გაუსის ერთეულებში[რედაქტირება]

გაუსის ერთეულთა სისტემაში ამპერის კანონს (წანაცვლების დენის გათვალისწინებით) აქვს სახე

\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \iint_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}

სადაც c არის სინათლის სიჩქარე.

ხოლო დიფერენციალურ ფორმას შემდეგნაირად ჩაიწერება

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right).

იხილეთ აგრეთვე[რედაქტირება]

სქოლიო[რედაქტირება]

  1. Heinz E Knoepfel (2000). Magnetic Fields: A comprehensive theoretical treatise for practical use. Wiley, გვ. 4. ISBN 0471322059. 
  2. George E. Owen (2003). Electromagnetic Theory, Reprint of 1963, Courier-Dover Publications, გვ. 213. ISBN 0486428303. 
  3. 3.0 3.1 John David Jackson (1999). Classical Electrodynamics, 3rd, Wiley, გვ. 238. ISBN 047130932X. 
  4. David J Griffiths (1999). Introduction to Electrodynamics, 3rd, Pearson/Addison-Wesley, გვ. 322–323. ISBN 013805326X. 
  5. George E. Owen (2003). op. cit.. Mineola, N.Y.: Dover Publications, გვ. 285. ISBN 0486428303. 
  6. J. Billingham, A. C. King (2006). Wave Motion. Cambridge University Press, გვ. 179. ISBN 0521634504. 
  7. J.C. Slater and N.H. Frank (1969). Electromagnetism, Reprint of 1947, Courier Dover Publications, გვ. 83. ISBN 0486622630. 
  8. James C. Maxweel (1961). „On Physical Lines of Force“. Philosophical Magazine and Journal of Science. 
  9. David J. Griffiths (1999). op. cit.. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, გვ. 323. ISBN 013805326X.  and Tai L. Chow (2006). Introduction to Electromagnetic Theory. Jones & Bartlett, გვ. 204. ISBN 0763738271. 

რესურსები ინტერნეტში[რედაქტირება]