ალბათური განაწილების ფუნქცია

თავისუფალი ქართულენოვანი ენციკლოპედია ვიკიპედიიდან
გადასვლა: ნავიგაცია, ძიება
სხვადასხვა პარამეტრების მქონე ნორმალურ განაწილებათა განაწილების ფუნქციები.

ალბათობის თეორიაში ალბათური განაწილების ფუნქცია (იგივე განაწილების ფუნქცია ან კუმულატიური განაწილების ფუნქცია) წარმოადგენს ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობაც ყოველ x წერტილში არის ალბათობა იმისა, რომ ამ განაწილების ფუნქციის შესაბამისი შემთხვევითი სიდიდე მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას.


განსაზღვრება[რედაქტირება]

ვთქვათ, მოცემულია ალბათური სივრცე (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) მასზე განსაზღვრული შემთხვევით სიდიდით \displaystyle X და განაწილებით \mathbb{P}_X. \displaystyle X შემთხვევითი სიდიდის განაწილების ფუნქცია ვუწოდოთ ფუნქციას F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1], რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}_X\left((-\infty, x]\right).

ანუ, განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში x წარმოადგენს ალბათობას ხდომილებისა \{\omega:X(\omega) \leqslant x\}.

აღსანიშნავია, რომ ზოგჯერ განაწილების ფუნქციას განსაზღვრავენ შემდეგნაირად:

F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}_X\left((-\infty, x)\right).

თვისობრივი განსხვავება ამ ორ განმარტებას შორის არ არის; მეორენაირად განმარტებული განაწილების ფუნქცია მარცხნიდან უწყვეტია (ნაცვლად მარჯვნიდან უწყვეტისა).


თვისებები[რედაქტირება]

განაწილების ფუნქციას ოთხი ძირითადი თვისება გააჩნია:


შემთხვევითი სიდიდის განაწილება \mathbb{P}_X ცალსახად განსაზღვრავს განაწილების ფუნქციას. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ ფუნქცია F(x) აკმაყოფილებს ზემოთ მოყვანილ ოთხ თვისებას, მაშინ არსებობს ალბათური სივრცე და მასზე განსაზღვრული ისეთი შემთხვევითი სიდიდე, რომ F(x) მის განაწილების ფუნქციას წარმოადგენს.

მარჯვნიდან უწყვეტობის თვისების ძალით განაწილების ფუნქციას ყოველთვის გააჩნია მარჯვენა ზღვარი F_X(x+) და ის ემთხვევა F_X(x)-ს ყოველი x\in \mathbb{R}. არაკლებადობის თვისება კი უზრუნველყოფს F_X(x-) ზღვრის არსებობას, თუმცა არაა აუცილებელი, რომ ეს უკანასკნელი ემთხვეოდეს ფუნქციის მნიშვნელობას x წერტილში. აქიდან გამომდინარე, ნებისმიერი x\in \mathbb{R} წერტილისთვის F_X ან უწყვეტია, ან გააჩნია პირველი გვარის წყვეტა.


კავშირი ალბათობასთან[რედაქტირება]

ალბათობის თვისებებიდან გამომდინარე, \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}, თუ \displaystyle a < b, სამართლიანია შემდეგი ტოლობები:

  • \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x);
  • \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-);
  • \mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-);
  • \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-);
  • \mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-);
  • \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-).


ლიტერატურა[რედაქტირება]

  • ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
  • Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6